Дискретизации и квантование цифрового сигнала.

Вопрос: Расскажите подробнее о дискретизации и квантовании цифрового сигнала.

Ответ:⁴ В последнее время в технике идет переход на цифровые методы обработки информации. Это связано с тем, что цифровую информацию легче хранить (появились дешевые и удобные устройства для хранения информации, такие как жесткие диски компьютеров или лазерные диски), а также с тем, что цифровую информацию легко передавать по современным линиям связи практически без потерь.

Аналоговый сигнал -- это в простейшем случае число $x(t)$, зависящее от времени $t$. При записи на носитель информации или воспроизведении с него сигнал неизбежно искажается различного рода шумами. Восстановить искаженный сигнал (убрать шумы) нельзя. Можно, конечно, пытаться подавлять шумы, используя некоторую дополнительную информацию (например, можно подавлять частоты, в которых сосредоточены шумы), но при этом мы теряем также и информацию о самом сигнале, т.е. опять же вносим искажения.

При оцифровке сигнала $x(t)$ производятся две операции - дискретизация и квантование. Дискретизация -- это замена сигнала x(t) с непрерывным временем $t$ на дискретизованный сигнал -- последовательность чисел $x(t_i)$ для дискретного набора моментов времени $t_1$, $t_2$, ..., $t_i$, ...(чаще всего интервалы между моментами времени $\Delta t = t_i - t_{i-1}$ берутся одинаковыми). При дискретизации, конечно, часть информации о сигнале теряется. Но если сигнал $x(t)$ за время $\Delta t$ не сильно изменяется, числа $x(t_i)$ и $x(t_{i-1})$ близки друг к другу, то поведение $x(t)$ между временами $t_i$ и $t_{i-1}$ нетрудно восстановить (сигнал практически линейно изменяется во времени от $x(t_{i-1})$ до $x(t_i)$). При дискретизации мы теряем частотные составляющие сигнала с частотами порядка $f > 1/\Delta t$ и выше.

При дискретизации время из аналогового как бы становится цифровым -- моменты времени $t_i$ можно нумеровать, кодировать. Производится замена непрерывного времени t на нечто, которое может принимать не все значения, а только некоторые, а именно $t_1$, $t_2$, ..., $t_i$, ... Квантование сигнала -- это нечто похожее, только данная процедура производится не со временем, а со значением сигнала x. Выбирается некий набор возможных значение сигнала $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$, ... и каждому $x(t_i)$ сопоставляется ближайшее число из этого набора.

Приведем конкретный пример дискретизации и квантования:

Пусть сигнал $x(t)$ такой, что $x(t) = \sqrt{t}$, шаг дискретизации $\Delta t = 0.1$ (т.е. набор моментов времени $t = 0, 0.1, 0.2, \dots$), значение сигнала $x$ мы будем записывать с точностью до одной сотой (т.е. набор значений сигнала $x = 0, \pm 0.01, \pm 0.02, \dots$). После дискретизации сигнала получим

$x$	=	0.	0.3162...	0.4472...	0.5477...	0.6324...	...
$t$	=	0	0.1	0.2	0.3	0.4	...

Учитывая точность хранения значений x, после квантования получаем

$x$	=	0.	0.32...	0.45...	0.55...	0.63...	...
$t$	=	0	0.1	0.2	0.3	0.4	...

При дискретизации мы теряем высокие ( $f > 1/\Delta t$) частоты сигнала, при квантовании мы теряем маленькие (меньше $\Delta x = x_n - x_{n-1}$) изменения сигнала. Кроме того, получившийся после квантования сигнал $x_n(t_i)$ отличается от реального (но уже дискретизованного) сигнала $x(t_i)$ на величину порядка шага квантования (или кванта) $\Delta x$. Это различие носит название шума квантования, и оно принципиально неустранимо.

Для примера, описанного выше, имеем

$x(t_i)$	=	0.	0.3162...	0.4472...	0.5477...	0.6324...	...
$x_n(t_i)$	=	0.	0.32...	0.45...	0.55...	0.63...	...
$t_i$	=	0	0.1	0.2	0.3	0.4	...
шум квантования	$\approx$	0.	0.00377	0.00279	0.00228	$-$0.00246	...

Иногда, чтобы внести в сигнал минимальные искажения, квантование делают так, что интервалы $\Delta x = x_n - x_{n-1}$ делают неравными (нелинейное квантование). Например, часто делают $\Delta x$ маленьким при малом значении сигнала, чтобы относительная погрешность (шум квантования/сигнал) не становилась очень большой при малых $x$. Например, принимают $\Delta x = \varepsilon x$, где $\varepsilon$ - маленькое число (так называемое логарифмическое квантование). Нелинейное квантование позволяет получить при приемлемой точности хранения сигнала большой динамический диапазон (отношение максимального значения сигнала к минимальному или к величине кванта).

Перевод аналогового сигнала в цифровой выполняется специальными устройствами -- аналогово-цифровыми преобразователями (АЦП). Основными параметрами АЦП являются частота дискретизации $f$ ( $f = 1/\Delta t$) и разрядность АЦП (количество двоичных разрядов, в которых хранится значение сигнала $x$, число возможных значений квантованного сигнала равно $2^N$, где $N$ - число разрядов). Чем выше разрядность АЦП, с тем большей точностью можно хранить сигнал ($\Delta x$ мало), но тем медленнее он работает (больше $\Delta t$).

Устройство, производящее обратную операцию (чтобы передать оцифрованный сигнал на какое-нибудь воспроизводящее устройство (динамик, телевизор, приводной мотор и т.д.)) называется цифро-аналоговым преобразователем (ЦАП). Принципиальные схемы АЦП и ЦАП следует искать в книжках по радиоэлектронике (о принципах работы некоторых схем смотри в [1]).

Приведем для справки параметры известного стандарта CD: частота дискретизации $f = 44.1~{\rm кГц}$, линейное квантование, 16 двоичных разрядов.

Цифровую информацию можно передать по линии связи практически без потерь. При передаче сигнал сначала превращается в аналоговый, пересылается, после чего опять оцифровывается. Если линия связи вносит искажения в сигнал меньше чем шаг квантования, то после передачи и оцифровки полученный оцифрованный сигнал не будет отличаться от начального. Обычно же информация передается с помощью двоичных импульсов, т.е. для восстановления сигнала необходимо лишь решать, передали 1 или 0. При передаче двоичной информации по линии связи естественно слегка смещается время прибытия импульса, но если смещение меньше расстояния между импульсами, то место импульса в общей последовательности легко восстанавливается. Дополнительную защиту дает применение кодов с устранением ошибок (коды Хэмминга, Рида-Соломона и др.).

[1] И.П.Золотухин, А.А.Изюмов, М.М.Райзман, Цифровые звуковые магнитофоны, - Томск: Радио и связь, Томский отдел, 1990, 160 с.: ил. - (Массовая радиобиблиотека, вып. 1153).